Верхняя и нижняя грани (математические), важные характеристики множеств на числовой прямой. Верхняя грань (В. г.) множества Е действительных чисел — наименьшее из всех чисел А, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство х £ А. Иными словами, В. г. множества Е — это такое число a, что для любого x из Е выполняется неравенство x £ a и для любого a' < а найдётся число x0 из Е, для которого x0 > a'. В этом определении множество Е предполагается не пустым. Для существования В. г. необходимо и достаточно, чтобы множество Е было ограничено сверху, то есть, чтобы существовали такие числа А, что х £ А для любого x из Е. Это предложение представляет собой одну из форм принципа непрерывности числовой прямой (так называемый принцип непрерывности Вейерштрасса). Если среди чисел множества Е есть наибольшее, то оно и является В. г. Е. Однако, если среди чисел Е нет наибольшего, то это множество всё же может иметь В. г. Например, В. г. множества всех отрицательных чисел равна 0. Множество всех положительных чисел не ограничено сверху и поэтому не имеет В. г.; иногда говорят, что его В. г. равна + ¥. Аналогично понятию В. г. множества определяется нижняя грань (Н. г.) множества Е как наибольшее из чисел В, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство x ³ B. В. г. множества Е обозначается sup Е (от латинского supremum — наивысший); Н. г. обозначается inf Е (от латинского infirnum — наинизший). Важность понятий В. г. и Н. г. для математического анализа была выяснена немецким математиком К. Вейерштрассом, они являются основными для строгого изложения начал математического анализа. Аналогично понятию В. г. (Н. г.) для числовых множеств вводятся понятия В. г. (Н. г.) для любых частично упорядоченных множеств.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд.. т. 1, М., 1966.
С. Б. Стечкин.