lnp) найдётся П. к. по модулю р, где р — простое нечётное число, k — число различных простых делителей числа р — 1. См. также Чисел теория, Индексы в теории чисел.Первообразный корень по модулю m, такое число g, что положительное наименьшее число k, для которого разность gk — 1 делится на m (gk сравнимо с 1 по модулю m), совпадает c j(m), где j(m) — число натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с m. Например, при m = 7 П. к. по модулю 7 является число 3. Действительно j(7) = 6; числа 31 — 1 = 2, 32 — 1 = 8, 33 — 1 = 26, 34 — 1 = 80, 35 — 1 = 242 не делятся на 7, лишь 36 — 1 = 728 делится на 7. П. к. существуют, когда m = 2, m = 4, m = рa, m = 2pa (где р — простое нечётное число, a — целое ³1), а для других модулей их нет. Число П. к. в этих случаях равно j[j(m)] (числа, разность которых кратна m, не считаются за различные). И. М. Виноградов в 1926 установил, что в интервале (1, 22klnp) найдётся П. к. по модулю р, где р — простое нечётное число, k — число различных простых делителей числа р — 1. См. также Чисел теория, Индексы в теории чисел.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Избр. труды. М., 1952, с. 54—57.