.Функциональные уравнения, весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К Ф. у. по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях (см. Конечных разностей исчисление); следует, однако, отметить, что название «Ф. у.» обычно не относят к уравнениям этих типов. Под Ф. у. в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Ф. у. можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций [например, Ф. у. (x) = f (—x) характеризует класс чётных функций, Ф. у. f (x + 1) = f (x) — класс функций, имеющих период 1, и т.д.].
Одним из простейших Ф. у. является уравнение f (x + у) = f (x) + f (y). Непрерывные решения этого Ф. у. имеют вид f (x) = Cx. Однако в классе разрывных функций это Ф. у. имеет и иные решения. С рассмотренным Ф. у. связаны
f (x + у) = f (x) f (y), f (xy) — f (x) + f (y),
f (xy) = f (x) f (y),
непрерывные решения которых имеют соответственно вид eCx, Clnx, xa (x > 0). Т. о., эти Ф. у. могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций.
В теории аналитических функций Ф. у. часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются Ф. у. f (z + а) = f (z) и f (z + b) = f (z), автоморфные функции — Ф. у. f (saz) = f (z), где {sa} — некоторая группа дробно-линейных преобразований. Если функция известна в некоторой области, то знание для неё Ф. у. позволяет расширить область определения этой функции. Например, Ф. у. f (x + 1) = f (x) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь Ф. у. Г (z + 1) = zГ (z) и зная значения функции Г (z) (см. Гамма-функция) в полосе 0 £ Rez £ 1, можно продолжить её на всю плоскость z.
Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются Ф. у., которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих Ф. у. во многих случаях облегчает нахождение решений.
Решения Ф. у. могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций. Для некоторых Ф. у. общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение Ф. у. f (x) = f (ax) имеет вид j[w(x)], где j(x) — произвольная функция, а w(x) — частное решение этого Ф. у. Для решения Ф. у. их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.
Другим методом решения Ф. у. является метод итераций. Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля f[a(x)] = f (x) + 1 [где a(x) — заданная функция] и связанного с ним уравнения Шрёдера f[a(x)] = cf (x). А. Н. Коркин доказал, что если a(х) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли (см. Непрерывные группы), привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде. Например, Ф. у. f (xn) = f (x) + 1 имеет частное решение .
Лит.: Ацель Я., Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, «Успехи математических наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68.