Бинарное счисление
— бинарная система нумерации, диадическая система, есть способ изображения всех чисел посредством двух только знаков по тому же принципу, по которому в обыкновенной системе нумерации употребляется для этой цели десять знаков. В общепринятой системе единица на первом месте направо означает 1, на втором месте 10, на третьем 100, т. е., 10 2 и т. д., вообще на n-ном месте 10 n — 1. Точно так же в Б. системе единица на первом месте направо означает 1, на втором 2, на третьем 4, т. е. 2 2, на четвертом 8, т. е. 2 3 и т. д. Таким образом, Б. система довольствуется знаками 0 и 1 для изображения всех чисел. Ряд натуральных чисел от 1 до 20 будет
напр.: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 1000, 1001,
равно: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
напр.: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111,
равно: 9, 10, 11, 12, 13, 14;
напр.: 10000, 10001, 10010, 10011, 10100,
равно: 15, 16, 17, 18, 19;
напр.: 10101,
равно: 20.
Мысль о Б. системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени. Иезуит Буве (Bouvet), миссионер в Китае, которому Лейбниц писал о своем изобретении, сообщил ему, что в Китае существует загадочная надпись, которую можно вполне объяснить бинарной системой. Надпись эта, которую приписывают императору Фо-ги, жившему в XXV веке до Р. X., основателю Китайской империи, покровителю наук и искусств, не могла быть объяснена китайскими учеными, которые считали ее не имеющей смысла. Она состоит из ряда длинных и коротких черточек. Если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся надпись оказывается просто рядом натуральных чисел, написанных по Б. системе. Вот эта надпись:
Практическое применение Б. системы затрудняется, во-первых, привычкой нашей к десятичной системе, приобретаемой с детства и, вероятно, отчасти унаследованной, и тем обстоятельством, что в Б. системе для означения даже небольших чисел требуется гораздо большее число цифр, чем в десятичной. Так, напр., 100 в десятичной системе будет изображаться 1100100 в бинарной, 1000 десятичной системы есть 1111101000 в бинарной и т. д.
Чтобы написать какое-нибудь число в Б. системе, должно делить его последовательно на 2 и писать подряд, справа налево, остатки от деления. Напр., чтобы написать 400 в Б. системе, делим это число на 2, первое частное 200, остаток 0, второе частное 100, остаток 0, третье частное 5 0, остаток 0, четвертое частное 25, остаток 0, пятое частное 12, остаток 1, шестое частное 6, остаток 0, седьмое частное 3, остаток 0, восьмое частное 1, остаток 1, девятое и последнее частное 0, остаток 1, и так 400 десятичной системы пишется 110010000 в бинарной.
Переход от числа, написанного в Б. системе, к десятичной, совершается простым сложением степеней числа 2, означенных в числе. Так, напр., число 110010000 в Б. системе есть сумма 8-й, 7-й и 4-й степени двух, т. е. 256, 128 и 16, т. е. 400, ибо, как сказано выше, единицы на различных местах в написанном числе означают разные степени 2-х, которые вместе составляют данное число.