— наука о движении. Изучая движение, механика необходимо должна изучать и причины, производящие и изменяющие движения, называемые силами; силы же могут и уравновешивать друг друга, и равновесие может быть рассматриваемо как частный случай движения. Поэтому и учение о равновесии тоже составляет предмет механики, и даже еще в весьма недавнее время механику подразделяли на учение о равновесии, называемое статикой, и учение о движении, называемое динамикой. Надо полагать, что некоторые понятия о законах движения и равновесия были достоянием народов еще глубокой древности, потому что постройки древних индусов, ассириян и египтян требовали весьма сильных машин для поднятия на значительную высоту массивных камней, из которых они созидались, но никаких точных сведений о состоянии М. в эти отдаленные времена мы не имеем; правильные теоретические рассуждения впервые встречаются только у Архимеда, и в тех его сочинениях, которые дошли до настоящего времени, исследуются только вопросы, относящиеся к статике: теория рычага, равновесие плавающих тел, положение центра тяжести. Первые следы изучения вопросов динамики встречаются в трудах одаренного всеобъемлющим умом Леонардо да Винчи, родившегося в 1452 году, которому было уже известно возрастание скорости при падении тел. Бенедетти, умерший в 1570 году, имел уже понятие о существовании центробежной силы и о том, что оторвавшаяся от вращающегося тела часть продолжает двигаться по касательной. Открытие начала возможных перемещений (см. ниже) и применение его к выводу законов равновесия рычага, блоков и ворота принадлежит Гвидо Убальди, жившему в 1545—1607 гг. Таким образом, механика, как самостоятельная наука, начала нарождаться в Италии. Настоящим же основателем динамики по справедливости считают Галилея, который открыл начало инерции, начало независимости движения и нашел законы падения тел. Исследования Галилея по механике изложены в его сочинениях: 1) "Discorso intorno all e cose che stanno in su l'acqua o che in quello si muovono", 2) "Dialogo intorno ai due massimi sistemi del mondo", 3) "Discorsi e dimonstrationi matematiche intorno a due nuove scienze" и 4) "Della scienza meccanica". При своей жизни Галилей приобрел славу больше астрономическими своими открытиями, но наибольшая его заслуга состоит, как замечает Лагранж, именно в открытии законов падения тел: нужен был гений, чтобы выяснить закон явления самого обыденного и в то же время управляющего движениями миров, как это было впоследствии обнаружено Ньютоном. Гюйгенс, дополнивший многие исследования Галилея, установил точные понятия о центробежной силе и о законах колебания маятника (см. Маятник) и этим еще более подготовил путь к открытию всемирного притяжения, сделанному Ньютоном, поставившим механику на прочные основания изложением ее основных принципов. В книге Ньютона, появившейся в 1687 году под заглавием "Philosophiae Naturalis Principia mathematica" и не имеющей себе равной по значению в истории развития точных наук, основные начала механики изложены в виде трех законов: I. Закон инерции: каждое тело пребывает в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если действующие на него силы не принуждают его изменить такое состояние. II. Закон величины действия: изменение движения пропорционально приложенной действующей силе и происходит по той прямой линии, по которой действует сила. III. Закон противодействий: всякому действию соответствует противодействие, равное и противоположное, то есть действия двух тел одно на другое всегда равны и направлены противоположно. Эта книга Ньютона и открытое им же, одновременно с Лейбницем, дифференциальное и интегральное исчисления дали сильный толчок дальнейшему развитию М. Яков и Даниил Бернулли, Клеро, Эйлер и многие другие ученые исследовали целый ряд механических задач первостепенной важности. Недоставало принципа, связующего динамику со статикой.

Этот принцип найден был Даламбером и изложен в его "Trait é de Dynamique", появившейся в 1743 г. Свобода движения тел и точек бывает иногда стеснена известного рода условиями, состоящими, например, в том, что точка может двигаться только по известной поверхности; такая поверхность или вообще все, что стесняет движение, называется связью. Связи оказывают некоторые сопротивления — реакции — на точку или систему точек. Начало Даламбера состоит в том, что равнодействующая всех данных сил, приложенных к каждой из точек рассматриваемой системы, разлагается на две составляющие: на потерянную силу, уравновешивающуюся благодаря реакциям связей, и на движущую силу, сообщающую точке то самое ускорение, какое бы она сообщила свободной точке, обладающей той же массой. Это начало приводит исследование движения к исследованию равновесия, потому что может быть выражено так: данные силы и считаемые в обратную сторону движущие силы должны в течение движения находиться в равновесии. Этим началом воспользовался Лагранж и в своей "M é canique Analytique" (1788) свел решение каких бы то ни было вопросов М. на решение уравнений, устанавливаемых для всех вопросов совершенно однообразным способом и вытекающих из одной общей формулы. Лагранж создал аналитическую М. Аналитическая механика представляет собой науку о движении, приведенную к интегрированию некоторых общих уравнений и к исследованию получаемых результатов. Всякое тело представляется совокупностью материальных точек. Положение каждой точки определяется ее координатами. Если координаты выражены как функции времени, например если дано: x=f(t); y=F(t); z= φ (t), то этим вполне определено движение точки, потому что из этих уравнений для каждого значения времени t, считаемого от начального момента, можно определить положение точки. Такие уравнения, относятся ли они к одной точке или к целой системе точек, называются уравнениями движения. В равномерном движении скоростью называется отношение пройденного расстояния ко времени. Переменное движение можно рассматривать состоящим из ряда весьма малых равномерных движений, вследствие чего в таком движении скорость представляется пределом отношения бесконечно малого пути Δ s к бесконечно малому промежутку времени Δ t, в течение которого этот путь пройден. Следовательно, скорость v выражается производной проходимого пути по времени: v=ds/dt. Точно так же ускорение j выражается производной скорости по времени j=dv/dt и, следовательно, равно второй производной пути по времени: j=d²s/dt².

Весьма часто в М. употребляется прием, заключающийся в том, что рассматриваются не самые силы скорости и ускорения, а проекции их на оси координат: проекции сил X, Y, Z; проекции скоростей: dx/dt, dy/dt, dz/dt; проекции ускорений: d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt². Из второго закона Ньютона вытекает, что сила пропорциональна массе m и ускорению и что, следовательно, для свободной точки:

X = m∙d²x/dt²;

Y = m∙d²y/dt²;

Z = m∙d²z/dt².

Для точки несвободной, движение которой стеснено связями, потерянные силы должны, по началу Даламбера, слагаться из заданных сил и из считаемых в обратном направлении движущих сил. Поэтому проекции потерянных сил будут:

X — m∙d²x/dt²;

Y — m∙d²y/dt²;

Z — m∙d²z/dt².

Все это было известно еще до Лагранжа. Лагранж выходит из начала возможных перемещений. Благодаря существованию связей, не все движения системы возможны. Элементы путей, пробегаемые точками в весьма малые промежутки времени при каком-либо возможном движении системы через занимаемое ею положение, называются возможными перемещениями. Работой называется произведение пути, пройденного точкой, на приложение силы на этот путь. Начало возможных перемещений состоит в том, что система находится в равновесии, если сумма работ заданных сил на протяжении возможных перемещений равна нулю. Так, например: возможные перемещения концов рычага, на которые действуют параллельные силы, суть весьма малые дуги, описанные концами рычага как радиуса из точки опоры и соответствующие общему углу отклонения рычага. Эти дуги пропорциональны плечам и проходятся в противоположные стороны. Чтобы работы сил на протяжении этих дуг, служащих возможными перемещениями, в сумме давали нуль, необходимо, чтобы силы были обратно пропорциональны плечам. Этот пример представляет собой вывод законов рычага из начала возможных перемещений. Лагранж применяет это начало к потерянным силам для всякого случая движения и для всякой системы точек. Выразив, что сумма работ потерянных сил на протяжении возможных перемещений равна нулю, Лагранж получил общее уравнение движения:

∑[(X - m∙d²x/dt²)δx + (Y - m∙d²y/dt²)δy + (Z - m∙d²z/dt²)δz] = 0

где δx, δy, δz — суть проекции возможных перемещений на оси координат. Из этой общей формулы Лагранж выводит систему уравнений, данную им в двух формах, которые, как и общая формула, содержат в себе дифференциалы. Решение всякого механического вопроса заключается после этого в освобождении формул Лагранжа от дифференциалов, т. е. в интегрировании лагранжевых уравнений. Общий способ их интегрирования был исследован самим Лагранжем, Гамильтоном, Пуассоном, Коши, Якоби, Мейером, Остроградским, Коркиным, Имшенецким и многими другими. В настоящее время в особенности замечательны в этом направлении работы Софуса-Ли и Фукса.

Из основных законов М. или из общих уравнений Лагранжа могут быть выведены некоторые весьма общие положения, которые в прежнее время принимались за основные начала, но после Лагранжа служат более к тому, что прямо дают некоторые интегралы уравнений М. Эти положения суть: 1) начало движения центра инерции, состоящее в следующем: при движении системы материальных точек существует определяемая их конфигурацией геометрическая точка, называемая центром инерции; движение этой точки происходит так, как будто бы она была свободной точкой, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены заданные силы. Если точки тяжелые, то их центр инерции есть в то же время их общий центр тяжести. Начало движения центра инерции проявляется, например, при разрыве летящей гранаты, осколки которой разбрасываются во все стороны, но общий их центр тяжести описывает тот самый путь, который был бы описан центром тяжести гранаты, если бы она не лопнула. Это начало выражается уравнениями:

M∙d²x/dt² = ∑mX;

M∙d²y/dt² = ∑mY;

M∙d²z/dt² = ∑mX

которые легко интегрируются. В них M — масса всей системы, различные m — массы точек; x, y, z — координаты центра инерции. 2) Закон площадей применим ко всем тем случаям, когда в каждом положении системы возможно всякое ее вращение около неподвижного начала координат O. Этот закон состоит в том, что: сумма произведений масс на проекции (на плоскости координат) площадей, описываемых радиус-векторами точек системы, возрастает пропорционально времени. Под именем радиус-вектора точки разумеется прямая, соединяющая ее с O. Из наблюдений над движением планет Кеплер (1571—1630) подметил существование этого закона в следующей форме: радиус-вектор, проведенный из центра Солнца к центру планеты, описывает в равные промежутки времени равные между собой площади. В таком приложении к планетам положение это носит название 2-го закона Кеплера. 3) Начало наименьшего действия состоит в следующем: вообразим те из возможных для системы между ее двумя данными положениями движения, при которых: