Радикал, в математике
— Один из корней двучленного уравнения xn = а
называется радикалом и обозначается
Здесь а
называется подкоренным числом, n —
показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре
подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число
положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться
преобразованиям при помощи формул:
Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом
a = r(cos φ + isin φ), где r > 0.
Для n значений Р. получается выражение
где k = 0, 1, 2,..., n— 1.
В правой части
положительное число, n -ая
степень которого равна r.
При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и
четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно
только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям
Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова "Об уравнениях пятой степени с целыми
коэффициентами" (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых
алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х 5— х —v
= 0 не решается в Р., если v
не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р.
равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом
основании Гаусс в своем сочинении "Disquisitiones arithmeticae" (в "Ganss
Werke", т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при
помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит
семнадцатиугольник.
Д. Селиванов.