— Функция f(x) непрерывна при х = а, если при приближении х к а предел функции f(x) равен f(a); в этом случае lim f(х) = f(lim х). Если же это равенство не оправдывается, то говорят, что функция f(x) претерпевает разрыв при x=а.

Р. может появиться в следующих случаях: 1) если lim f(x) не существует; 2) если lim f(x) существует, но функция f(x) не имеет смысла при x = а; 3) если lim f(x) и f(a) существуют, но lim f(x) не = f (а).

Приведем несколько примеров.

Функция sin(1/ x) — претерпевает разрыв при х = 0, так как эта функция при уменьшении численного значения х не стремится ни к какому пределу.

Функция (sin x)/x разрывна при х = 0, так как эта функция не имеет смысла при х = 0. Обыкновенно такой разрыв уничтожают, пользуясь тем, что lim[(sin x)/x] = 1. С этой целью функцию определяют двумя равенствами.

f(x) = (sinx)/x при х не = 0, f(0) = 1.

Такая функция f (х) непрерывна при х = 0.

Числовая функция f(s) = Ex, выражающая целую часть числа х, разрывна при всяком целом значении х. Если, например, х =n, то при положительном бесконечно малом h: limf(n—h) = n —1, но f(n) = n; значит lim f(x) не = f(lim х).

Оглавление