Гипергеометрические функции, аналитические функции, определяемые для |z|<1c помощью гипергеометрического ряда. Название «Г. ф.» было дано Дж. Валлисом (1650). Г. ф. являются интегралами гипергеометрического уравнения
z (1—z)w» + [g—(1 + a+ bz]w'—abw = 0.
Это уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1 и ¥ и является канонической формой уравнений гипергеометрического типа. Важнейшие специальные функции математического анализа являются интегралами уравнений гипергеометрического типа (например, шаровые функции) или уравнений, возникающих из гипергеометрических путём слияния их особых точек (например, цилиндрические функции). Теория уравнений гипергеометрического типа явилась основой для возникновения важной математической дисциплины — аналитической теории дифференциальных уравнений. Между различными Г. ф.
w = F (a, b; g; z)
имеется большое число соотношений, например:
F (a, 1; g, z) = (1—z)–1 F (1, g —a; g; z/(z—1)).
Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.