Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение
Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)
функции f (x) можно представить в виде
Dy = f' (x0) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член
dy = f' (x0) Dх
в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство
Dy = dy + R
показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Dy.
Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.
Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления.
Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству
L (x' + х'') = L (x') + L (x'')
для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид
L (x) = a1x1 +... + anxn,
где a1,..., an — постоянные. Приращение
DL = L (x + h) - L (x)
линейной функции L (x) имеет вид
DL = L (h),
т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде
Df = L (h) + R (h),
где остаток R (h) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.
В случае f (x) º x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.
Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:
df (x; h).
Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения
df (x + h2; h1) — df (x; h1),
где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:
d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).
Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.
В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d2f.
Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.
А. Н. Колмогоров.