.Клейна — Гордона уравнение, квантовое релятивистское (т. е. удовлетворяющее требованиям относительности теории) уравнение для частиц со спином нуль. Исторически К. — Г. у. было первым релятивистским уравнением квантовой механики для волновой функции частицы y; оно было предложено в 1926 Э. Шрёдингером (как релятивистское обобщение Шрёдингера уравнения) и независимо от него шведским физиком О. Клейном (О. Klein), советским физиком В. А. Фоком, немецким физиком В. Гордоном (W. Gordon) и др.
Для свободной частицы К. — Г. у. записывается в виде:
.
Ему соответствует релятивистское соотношение между энергией E и импульсом р частицы: 
(m — масса частицы, с — скорость света).
Решением уравнения является функция y (х, у, z, t), зависящая только от координат (х, у, z) и времени (t). Следовательно, частицы, описываемые этой функцией, не обладают никакими дополнительными внутренними степенями свободы, т. е. действительно являются бесспиновыми (к таким частицам относятся, например, p- и К-мезоны). Однако анализ уравнения показал, что его решение y принципиально отличается по своему физическому смыслу от обычной волновой функции как амплитуды вероятности обнаружить частицу в заданном месте пространства в заданный момент времени: y (х, у, z, t) не определяется однозначно значением y в начальный момент времени (такая однозначная зависимость постулируется в квантовой механике), и, более того, выражение для вероятности данного состояния наряду с положительными значениями может принимать также и лишенные физического смысла отрицательные значения. Поэтому сначала от К. — Г. у. отказались. Однако в 1934 В. Паули и В. Вайскопф нашли правильную интерпретацию этого уравнения в рамках квантовой теории поля (они рассмотрели его как уравнение поля, аналогичное Максвелла уравнениям для электромагнитного поля, и проквантовали его; при этом y стало оператором).
М. А. Либерман.