Математическая индукция, весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 (1)
При n = 1 эта формула даёт 1 = 12. Чтобы доказать правильность формулы при любом n, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N, то есть предполагают, что
1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) = N2. (2)
Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для n = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N + 1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N +1) и, следовательно,
1 + 3 + 5 + ... + (2N — 1) + (2N + 1) = N2 + (2N + 1) = (N + 1)2.
Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1.
Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при n = N + 1. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.
Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А, вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.
В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так: «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов un геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q:
1) u1 = a,
2) un+1 = unq.
Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии un для всех натуральных чисел n. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение un через n:
un = aqn-1.
Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, например таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N.