Особая точка

Особая точка в математике.

1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, — точка М₀(х₀, y₀), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль:

Если при этом не все вторые частные производные функции F (x, у) в точке М₀ равны нулю, то О. т. называют двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке М₀ обращаются в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю, то О. т. называется тройной, и т.д. При исследовании строения кривой вблизи двойной О. т. важную роль играет знак выражения

Если D > 0, то О. т. называется изолированной; например, у кривой у ² — х ⁴ + 4x ² = 0 начало координат есть изолированная О. т. (см. рис. 1). Если D < 0, то О. т. называется узловой, или точкой самопересечения; например, у кривой (x ² + y ² + a²)² — 4a ²x ² — a ⁴= 0 начало координат есть узловая О. т. (см. рис. 2). Если D = 0, то О. т. кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, например: а) точка возврата 1-го рода — различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и образуют остриё, как у кривой у ² — х ³ = 0 (см. рис. 3, a); б) точка возврата 2-го рода — различные ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой (у — x ²)² — х ⁵ = 0 (см. рис. 3, б); в) точка самоприкосновения (для кривой у ² — х ⁴ = 0 начало координат является точкой самоприкосновения; (см. рис. 3, в). Наряду с указанными О. т. имеется много других О. т. со специальными названиями; например, асимптотическая точка — вершина спирали с бесконечным числом витков (см. рис. 4), точка прекращения, угловая точка и т.д.

Лит. см. при ст. Дифференциальная геометрия.

2) Особая точка дифференциального уравнения — точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения

, (1)

где Р и Q — непрерывно дифференцируемые функции. Предполагая О. т. расположенной в начале координат и используя Тейлора формулу, можно представить уравнение (1) в виде

где P₁(x, у) и Q₁(x, у)— бесконечно малые по отношению к Характер поведения интегральных кривых около О. т. зависит от корней l₁ и l₂ характеристического уравнения

Именно, если l₁ ¹ l₂ и l₁l₂ > 0 или l₁ = l₂, то О. т. есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если l₁ ¹ l₂ и l₁l₂ < 0, то О. т. есть седло; в окрестности седла четыре интегральные кривые (сепаратрисы) входят в О. т., а между ними располагаются интегральные кривые типа гипербол. Если l_1,2 = a ± i b, a ¹ 0 и b ¹ 0, то О. т. есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, l_1,2 = ± i b, b ¹ 0, то характер О. т. не определяется одними линейными членами в разложениях Р (х, у) и Q (x, у), как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь О. т. может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя. Так, например, точка (0, 0) является узлом для уравнений у ' = 2у/х (l₁ = 1, l₂ = 2; см. рис. 5, а) и y ' = у/х (l₁ = l₂ = 1; см. рис. 5, б), седлом для уравнения у' = —у/х (l₁ = —1, l₂ = 1; см. рис. 6), фокусом для уравнения у' = (х + у) / (х — у) (l₁ = 1 — i, l₂ = 1 + i; см. рис. 7) и центром для уравнения у' = —x / y (l₁ = —i, l₂ = i; см. рис. 8).

Если , то О. т. называют особой точкой высшего порядка. О. т. высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае, когда функции Р (х, у) и Q (х, у) аналитические, окрестность О. т. высшего порядка может распадаться на области: D₁ — заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в О. т. (эллиптические области), D₂ — заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в О. т. (параболические области), и D₃ — области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в О. т., между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболические области) (см. рис. 9). Если нет интегральных кривых, входящих в О. т., то О. т. называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой О. т. состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих О. т. внутри себя, между которыми расположены спирали (см. рис. 10).

Изучение О. т. дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности О. т., составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения (работы А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и др.).

Лит. см. при ст. Дифференциальные уравнения.

3) Особая точка однозначной аналитической функции — точка, в которой нарушается аналитичность функции (см. Аналитические функции). Если существует окрестность О. т. a, свободная от других О. т., то точку а называют изолированной О. т. Если а — изолированная О. т. и существует конечный , то a называют устранимой О. т. Путём надлежащего изменения определения функции в точке а (или доопределения её в этой точке, если функция в ней вообще не определена), именно, полагая f (a) = b, можно добиться того, что a станет обыкновенной точкой исправленной функции. Например, точка z = 0 является устранимой О. т. для функции , так как ; для функции f ₁(z) = f (z), если z ¹ 0, и f₁(0), = 1, точка z = 0 является обыкновенной точкой [f ₁(z) аналитична в точке z = 0]. Если а — изолированная О. т. и , то а называют полюсом или несущественно особой точкой функции f (z), если же не существует, то существенно особой точкой. Ряд Лорана (см. Лорана ряд) функции f (z) в окрестности изолированной О. т. не содержит отрицательных степеней z — а, если а — устранимая О. т., содержит конечное число отрицательных степеней z — а, если а — полюс (при этом порядок полюса р определяется как наивысшая степень , встречающаяся в ряде Лорана), и содержит как угодно высокие степени , если а — существенно особая точка. Например, для функции

(p = 2, 3, …)

точка z = 0 является полюсом порядка р, для функции

точка z = 0 является существенно особой точкой.

На границе круга сходимости степенного ряда должна находиться по крайней мере одна О. т. функции, представляемой внутри этого круга данным степенным рядом. Все граничные точки области существования однозначной аналитической функции (естественной границы) являются О. т. этой функции. Так, все точки единичного круга | z | = 1 являются особыми для функции

Для многозначной аналитической функции понятие «О. т.» более сложно. Помимо О. т., в отдельных листах римановой поверхности функции (то есть О. т. однозначных аналитических элементов) всякая точка ветвления также является О. т. функции. Изолированные точки ветвления римановой поверхности (то есть такие точки ветвления, что в некоторой их окрестности ни в одном листе нет других О. т. функции) классифицируются следующим образом. Если а — изолированная точка ветвления конечного порядка и существует конечный , то О. т. называют обыкновенной критической точкой; если же , то а называют критическим полюсом. Если а — изолированная точка ветвления бесконечного порядка и существует (конечный или бесконечный), то а называют трансцендентной О. т. Все остальные изолированные точки ветвления называют критическими существенно особыми точками. Примеры: точка z = 0 является обыкновенной критической точкой функции , критическим полюсом функции , трансцендентной О. т. функции f (z) = ln z и критической существенно особой точкой функции f (z) = sin ln z.

Всякая О. т., кроме устранимой, является препятствием при аналитическом продолжении, т. е. аналитическое продолжение вдоль кривой, проходящей через неустранимую О. т., невозможно.

Лит. см. при ст. Аналитические функции.