Приближённое решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y (x) - y (x0) = .
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:
A1 = y’0 = f (x0, y0);
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0.
Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения
y’’ = f (x, у)
с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х — х0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0, b] Так, для того чтобы вычислить у (х1), где х1 = х0 + h, h = (b — x0)/n, представляют у (х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 — х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:
,
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
,
где
;
;
;
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.
В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), hi и разностей Dihj, где
hj = hf (xj, yj); Dhj = hj+1 - hj;
Dihj = Di-1hj+1 - Di-1hj.
Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:
даёт решение у (х) в точке xk с точностью до величин порядка h4.
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения
Формула | k = 2 | k = 3 | k = 4 |
(1 + x)3 » 1 + 3x | 0,04 | 0,012 | 0,004 |
0,06 | 0,022 | 0,007 | |
0,19 | 0,062 | 0,020 | |
0,20 | 0,065 | 0,021 | |
0,31 (17°48') | 0,144 (8°15') | 0,067 (3°50') | |
0,10 (5°43') | 0,031 (l'48') | 0,010 (0°34') | |
0,25 (14°8') | 0,112 (6°25') | 0,053 (3°2') | |
0,14 | 0,47 | 0,015 | |
0,04 | 0,014 | 0,004 | |
0,25 | 0,119 | 0,055 |
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у). По этой формуле находят D2yn-1, а затем yn+1 = yn +Dyn+1 + D2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y’’n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.