Чебышева многочлены,
1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:
В частности, Т0 = 1; T1 = х; T2 = 2x2 ¾1; T3 = 4x3 ¾ 3x; T4 = 8x4 ¾ 8x2 + 1. Ч. м. Tn (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x2)¾1/2. Дифференциальное уравнение:
(1 — x2) у" — ху + n2у = 0.
Рекуррентная формула: Tn+1(x) = 2xTn (х) - Tn¾1(x).
Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов Pn (ab)(x):
.
2) Ч. м. 2-го рода Un (x) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x2)1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:
(1 — x2) Un¾1(х) = xTn (х) ¾ Tn+1(х).
Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.