Асимптота (от греч. слов: a, sun, piptw) - несовпадающая. Под
асимптотой подразумевается такая линия, которая, будучи неопределенно
продолжена, приближается к данной кривой линии или к некоторой ее части
так, что расстояние между общими линиями делается менее всякой данной
величины; иначе говоря, А. касается данной кривой линии на бесконечном
расстоянии от начала координат. Всякая другая линия, параллельная А.,
хотя и приближается непрестанно к кривой, однако не может быть названа в
свою очередь А., так как расстояние ее от кривой не может быть уменьшено
по произволению. Таким образом, число А. для каждой кривой вполне
ограничено. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойство
кривых линий, образующихся на поверхности конуса от пересечения его
плоскостью, стало известным, что ветви гиперболы, будучи неопределенно
продолжены, непрестанно сближаются с двумя прямыми линиями, исходящими
из центра гиперболы и одинаково наклоненными к её оси. Эти прямые, о
которых упоминает уже Архимед, были еще в древности названы А. и
сохранили свое название и по настоящее время. Впоследствии Ньютон
показал, что существуют криволинейные А. не только в кривых
трансцендентных, но даже в алгебраических, начиная с 3 порядка
последних. Действительно, ныне различают А. прямолинейные и
криволинейные; но, обыкновенно, прямолинейной А. присваивают название
Асимп., называя криволинейную
- асимптотической кривой. Основываясь на вышеприведенном определении,
что прямолинейная А. есть касательная к кривой в точке, бесконечно
удаленной от начала координат, легко найти уравнение А. данной кривой. В
самом деле, пусть y=f(x) есть уравнение кривой линии; уравнение
касательной ее в точке, определенной координатами х и у, будет, как
известно, или .
Чтобы перейти от касательной к А., стоит сделать одно из следующих
предположений: 1) х и у =+? , 2) x=+?, а у=конечному числу и 3) у= +?, а
х=конечному числу, так как этими предположениями мы выражаем, что точка
касания находится на бесконечном расстоянии от начала координат. Так,
для гиперболы, определяемой уравнением , находим Полагая х =?, найдем ;
следовательно уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет или, что все
равно, ; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А.
Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет Y А. =Х+В
уравнение А., непараллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующая
абсциссе х, для весьма больших величин сей абсциссы, будет очень мало
разниться от ординаты Y а-ты; так что можно ее принять у=Ах+В+e ,
подразумевая под e количество, уничтожающееся вместе с I/x. Итак,
полагая х=? , найдем , и пред. (у - Ах)= пред. (В+e)=В. Следовательно,
для определения постоянного количества стоит только в уравнении кривой
положить или y=xq и найти предел, к которому стремится q для бесконечно
больших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривой
примем у - Ах = n, или y = Ax + n. Изменив х на у и наоборот, и
рассуждая также, как и выше, найдем А., непараллельные оси х. Так,
например, уравнение рассмотренной нами гиперболы, через подстановку qx
вместо у, дает или полагая х =?, найдём , или Полагая в том же уравнении
получим или , где, полагая х=?, получим n=0=B; следовательно, уравнение
А. предложенной гиперболы будет, как и выше, , что и требовалось
доказать. бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кроме
упомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида,
логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др.
Пример асимптотической кривой усматриваем в кривой 3-го порядка,
определяемой уравнением y=х2 + I/х. Очевидно, что по мере увеличения
абсциссы х в положительную или отрицательную сторону, член I/x будет
неопределенно уменьшаться, а х2 увеличиваться, так что ордината у будет
приближаться все более и более к значению х2, которого однако никогда не
достигает. Отсюда ясно, что рассматриваемая нами кривая имеет А-ской
кривой параболу, определяемую уравнением у=х2 Для весьма малых
положительных или отрицательных значений абсциссы х случится обратное
положение: численная величина дроби I/x неопределённо возрастает, а х2
напротив того, уменьшается, так что ордината у будет стремиться к
равенству с I/x ; таким образом, равностороння гипербола, отнесенная в
своим асимптотам, будет также А-ою предложенной кривой.