Геодезическая линия. - Г. линией на поверхности мы называем такую
линии), главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями к
поверхности.
Если уравнение поверхности и прямоугольных координатах будет f (х, у,
z) = 0, то два дифференциальных уравнения Г. линии будут иметь вид:
, где .
К тем же дифференциальным уравнениям мы придем, если поставим себе
задачу найти кратчайшую линию на поверхности между заданными на этой
поверхности двумя точками, а потому можем сказать, что кратчайшею линиею
на поверхности между двумя точками будет часть Г. линии, проходящей
через эти точки. Обратное заключение не всегда справедливо, ибо иногда
часть геодезической линии, проходящей через две заданные на поверхности
точки, заключенная между этими точками, может не быть кратчайшею, что
можно видеть из следующего простого примера. Возьмем шар; на нем, как
известно, геодезическою линиею будет дуга большого крута. Пусть даны две
точки. не лежащие на концах одного и того же диаметра; через эти две
точки можно провести только одну дугу большого круга. На этой дуге точки
отделяют две части: меньшую 180°-ти и большую 1803-ти. Первая часть есть
кратчайшая кривая на шаре между двумя точками; вторая же, будучи частью
Г. линии, лежащею между заданными точками, не обладает указанным
свойством. На плоскости Г. дитя совпадает с кратчайшею, т. е. с прямою.
Для получения уравнения Г. линии в конечном виде, необходимо
интегрировать написанные выше уравнения. Для геодезии важен случай
кратчайшей линии на эллипсоиде; решенный известным математиком Якоби. В
механике Г. линия играет важную роль: по ней движется точка,
долженствующая оставаться на поверхности в том случае, когда на точку не
действуют никакие внешние силы. Д. Гр Геодезия - наука, занимающаяся
изучением вида и размера земли; в Г. же рассматриваются также и
различные условные способы изображения земной поверхности в виде карт и
планов.
Небольшая часть земной поверхности может быть принимаема за
плоскость; исследование такой части может быть сделано при помощи весьма
простых средств и способов и составляет предмет низшей Г. или
топографии; в высшей же Г. принимается в расчет кривизна земной
поверхности. Обыкновенно считают Пифагора первым, который принимал землю
за шар; первое определение размеров земли, принимая ее за шар, было
сделано крайне остроумным способом Эратосфеном, жившим в III в. до Р. X.
В начале XVIII ст. Ньютон высказал, что земля должна иметь вид
эллипсоида вращения, сжатого у полюсов, и на основании теоретических
соображений определил величину этого сжатия. Предположение Ньютона
блестяще подтвердилось позднейшими геол. работами. Для определения
размеров земного эллипсоида служат так назыв. градусные измерения.
Понятно, что эллипсоид, вычисленный на основании одних градусных
измерений, будет более или менее отличаться от эллипсоида, полученного
из других градусных измерений, ибо эллипсоид представляет лишь идеальную
форму так назыв. геоида; продолжив мысленно поверхность океанов внутрь
континентов так, как будто эти последние были прорезаны глубокими, но
бесконечно узкими каналами, получим вполне определенную, воображаемую
поверхность земли, которую, по предложению Листинга (1873), назв.
геоидом. Исследование вида и размеров геоида и составляет в настоящее
время главнейшую задачу высшей геодезии (Bruns, "Die Figur der Erde",
1876). Кроме градусных измерений, для решение вопроса о виде земли
служат также и определения величины силы тяжести в различных местах
земной поверхности из наблюдений над качанием маятника. Важнейшие
руководства по Г. : Clarke, "Geodesy" (есть русский перевод В.
Витковского, 1890); Helmert, "Die mathemat. und physikal. Theorie d.
hoheren Geodasie"; Zachariae, "Die go dasische Hauptpuncte u. ihre
Coordinaten " (перев. с датского); W. Jordan, "Handbuch d.
"Vermessungskande" (есть русские перевод Бика); Болотов, "Курс высшей и
низшей геодезии"; Bauerofeind, "Elemente d. Vermessungskunde" (7 изд.,
1890); Мейен, "Низшая Г. "; Бик, "Низшая Г. " (вышли 2 т.). А. Жданов.