1, 2, 3. Прежде всего заметим, что на острове должны выполняться следующие правила:
П р а в и л о   1. Во время бодрствования любой житель острова считает, что он принадлежит к дневному типу.
П р а в и л о   2. Во время сна любой островитянин полагает, что он принадлежит к ночному типу.
П р а в и л о   3. Жители дневного типа всегда уверены, что они бодрствуют.
П р а в и л о   4. Жители ночного типа всегда уверены, что они спят.
   Для доказательства правила 1 предположим, что Х - житель острова, который в данный момент не спит. Бели Х принадлежит к дневному типу, тогда он одновременно принадлежит к дневному типу и бодрствует; значит, его суждения в этот момент правильны, и он знает, что относится к дневному типу. С другой стороны, предположим, что Х принадлежит к ночному типу. Тогда, поскольку он относится к ночному типу и в данный момент бодрствует, его суждения неверны; поэтому он ошибочно полагает, будто он относится к дневному типу. Итак, суммируя, имеем: когда Х бодрствует, то если он принадлежит к дневному типу, он (правильно) считает, что относится к дневному типу; если же он относится к ночному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также принадлежит к дневному типу.
   Правило 2 доказывается аналогично: когда Х спит, то если этот островитянин принадлежит к ночному типу, он (правильно) считает, что он относите ночному типу, а если он принадлежит к дневному, то он (ошибочно) полагает, будто также относится к ночному типу.
   Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова Х принадлежит к дневному типу Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.
   Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.
   Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2)
   Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).
   В отношении же задачи 3 ответом на вопрос "а" является "нет" (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина по поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос "б" является "да" (в соответствии с правилами 3 и 4).