Неравенства (математические), соотношения между числами или величинами, указывающие, какие из них больше других. Для обозначения Н. употребляется знак <, обращенный остриём к меньшему числу. Так, соотношения 2 > 1 и 1 < 2 выражают одно и то же, а именно: 2 больше 1, или 1 меньше 2. Иногда несколько Н. записываются вместе (например, а < b < с). Желая выразить, что из двух чисел а и b первое или больше второго, или равно ему, пишут: а ³ b (или b £ а) и читают: «а больше или равно b» (или «b меньше или равно а») либо короче: «а не меньше b» (или «b не больше а»). Запись а ¹ b означает, что числа а и b не равны, но не указывает, какое из них больше. Все эти соотношения также называются Н.
Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Н. остаётся справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножать обе части Н. на одно и то же положительное число. Однако если обе части Н. умножить на отрицательное число, то смысл Н. изменится на обратный (т. е. знак > заменяется на <, а < на >). Из неравенства А < В и С < D следует А + С < В + D и А - D < В - С, т. е. одноимённые Н. (А < В и С < D) можно почленно складывать, а разноимённые Н. (А < В и D > С) — почленно вычитать. Если числа А, В, С и D положительны, то из неравенств А < В и С < D следует также AC < BD и A/D < В/С, т. е. одноимённые Н. (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноимённые — почленно делить.
Н., в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство x2 — 4x + 3 > 0 верно при х = 4 и неверно при х = 2. Для Н. этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Н. величины для того, чтобы Н. были справедливы. Так, переписывая неравенство x2 — 4x + 3 > 0 в виде: (х — 1)(х — 3) > 0, замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: х < 1, х > 3, которые и являются решением данного Н.
Укажем несколько типов Н., выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.
1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a1, a2,..., an справедливо Н.
|a1 + a2 + … + anI £ Ia1| + Ia2I +... + Ian|.
2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:
3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. Вида
ai1x1 + ai2x2 +... + ainxn (bi ³ i = 1, 2,..., m).
Совокупность решений этой системы Н. представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n-мepном пространстве (x1, x2,..., xn); задача теории линейных Н. состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н. тесно связаны с теорией наилучших приближений, созданной П. Л. Чебышевым.
См. также Бесселя неравенство, Буняковского неравенство, Гельдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.
Н. имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения — полностью основан на Н.; аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н. В алгебре даётся аксиоматическое обоснование Н.; линейные Н. играют большую роль в теории линейного программирования. В геометрии Н. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах. В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., например, Чебышева неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Н. (см., например, Чаплыгина метод). В теории функций постоянно употребляются различные Н. для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н. треугольника
||х + у|| £ ||x|| + ||y||.
Многие классические Н. в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.
Лит.: Коровкин П. П., Неравенства, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948.