Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции, т. е. через интерполяционный многочлен Рn(х) степени n, значения которого в заданных точках x0, x1, ..., хn совпадают со значениями y0, y1, ..., уn функции f в этих точках. Многочлен Рn(х) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
1. Интерполяционная формула Лагранжа:
Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением Pn(x), не превышает по абсолютной величине
где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f n+1(x) функции f (x) на отрезке [x0, xn].
2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x0, x1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = x0 + kh), многочлен Pn(x) можно записать так:
(здесь x0 + th = х, а Dk — разности k-го порядка: Dk yi = Dk — 1 yi +1 — Dk — 1yi). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x0. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).
3. Интерполяционная формула Стирлинга:
(о значении символа m и связи центральных разностей dm с разностями Dm см. ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений х, близких к одному из средних узлов а; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х—k, ..., х—1, x0, x1, ..., xn, считая а центральным узлом x0.
4. Интерполяционная формула Бесселя:
применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х—k, ..., х—1, x0, x1,..., xk, xk + 1, и располагать их симметрично относительно a (x0 < а < x1).
Лит. см. при ст. Интерполяция.
В. Н. Битюцков.