Эйлера уравнения,

  1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

  Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_x + (I_z — I_y) w_yw_z = M_x,

I_y + (I_x —  I_z) w_zw_x = M_y, (1)

I_z + (I_y — I_x) w_xw_y = M_z,

где I_x, I_y, I_z — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w_х, w_у, w_z — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , ,   — проекции углового ускорения.

  Кинематические Э. у. дают выражения w_х, w_у, w_z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

w_x= sin q sinj + cosj,

w_у= sin q cosj — sinj, (2)

w_z=  + cos q.

  Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

  2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, u, w, р, r, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

  В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р) (или r — const, когда жидкость несжимаема).

  Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

  Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

  С. М. Тарг.

Оглавление